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Holmes el matemático Recuerda que un número primo es un número entero que solamen-
En este caso Sherlock Holmes está tratando de averiguar por te es divisible entre sí mismo y entre uno. Ejemplo: 5 solamente es
dónde entró el asesino y hay cierto número de posibles solu- divisible entre 5 y 1; pero el 6 es divisible entre 6, 3, 2 y 1, por lo tanto
ciones: la puerta, la ventana, la chimenea, etcétera. Y Holmes 6 no es primo. Hay razones técnicas por las cuales el 1 no se considera
demuestra de forma indirecta el lugar por donde entró el ase- un número primo. Si quieres averiguar más al respecto pregúntale a
sino; al hacerlo, elimina cada una de las posibilidades excepto tu profesor de matemáticas.
una que al principio parece poco probable (el techo), pero que
constituye la única solución correcta. 45 es divisible entre los números primos 3 y 5. Éste es un resultado
bien demostrado en matemáticas: dado cualquier número entero,
Esta estrategia de resolver un problema por eliminación de siempre hay un número primo que lo divide, ya sea porque pode-
las opciones es una metodología para argumentar muy utiliza- mos factorizarlo, como en el ejemplo del número 45, o porque el
da en las matemáticas desde hace siglos. Los matemáticos le número que elijamos es un primo, como el 13.
llaman ‘demostración por reducción al absurdo’ o ‘demostra- Dado que N no satisface esa propiedad, N no puede existir; lo
ción por contradicción’. Una de las primeras apariciones de que nos indica que nuestra suposición de que había un número
este tipo de argumentos está en el libro de Euclides, Elementos. finito de primos es incorrecta. Esto nos deja con una sola posi-
En ese libro se encuentra una demostración de que hay una bilidad: debe haber una cantidad infinita de números primos.
cantidad infinita de números primos. Lo interesante es que Euclides demuestra que existen muchísimos
números primos sin darnos uno solo.
Vamos a presentarte la demostración de Euclides. En pri- Cuando se nos presenta un problema casi todos lo intenta-
mer lugar, estarás de acuerdo en que solamente hay dos posi- mos resolver de manera directa. Euclides y Sherlock Holmes nos
bilidades: muestran que hay otras formas de resolver algunas cuestiones.
Te invitamos a que leas El signo de los cuatro y cualquier otra
Hay una cantidad infinita de números primos novela de Sherlock Holmes que puedas encontrar. Si lo haces con
o cuidado, encontrarás en ellas muchos temas científicos interesantes n
Hay una cantidad finita de números primos
roberto Murillo es profesor de la UACM, además de matemático de corazón y profesión, apasionado
Para demostrar que hay una cantidad infinita de números de la fotografía y los viajes.
primos, al igual que Sherlock Holmes, eliminaremos la otra Aída Suárez es pedagoga de formación, profesión y afición; interesada por las matemáticas y la litera-
posibilidad. Es decir, eliminaremos la posibilidad de que haya tura. Por el momento, editora de la revista Palabrijes.
una cantidad finita de números primos.

Hay una cantidad infinita de números primos
o
hay una cantidad finita de números primos

Euclides plantea lo siguiente:
Si hubiera una cantidad finita de primos, digamos que
tuviéramos una cantidad k de primos, los podríamos poner a
todos en una lista:
p , p , p , ... p
1 2 3 k

La inspiración de Euclides reside en que construyó con todos
esos números primos un número que vamos a llamar N, que se
obtiene multiplicando todos los primos y sumándole 1 al resul-
tado.
N = p p p ... p + 1
1 2 3 k
Entonces N es un número que no se divide exactamente
entre ningún primo, por lo que al hacer la división nos quedaría
el 1 que agregamos como residuo.
Pero eso no puede suceder. Piensa en cualquier número en-
tero y encontrarás algún primo que lo divida. Por ejemplo,
Palabrijes 00 otoño 2007 19