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Rectas y curvas que besan y tocan

Hipotenusa, cateto, hipérbola, escaleno... ¿De dónde sacan los
matemáticos los nombres para sus objetos? En este breve texto
trataremos de mostrar que (al menos a veces) éstos vienen del
lenguaje cotidiano, y, en los casos particulares que nos ocupan,
de palabras que tienen un sentido “amoroso”.

Por Sael Cruz

Tocar’ y ‘tangente’ tienen la misma raíz (el verbo tiempo por el cruce). En términos matemáticos, esto
latino tangere, tocar), beso y ósculo significan lo se puede describir así: una recta es tangente a una
‘mismo. Tangente y ósculo, esas palabras tan raras, curva si la toca lo más suavemente posible, si se le
tienen significados bien claros tanto en el lengua- aproxima de manera que cerca del punto de contacto,
je matemático como en el lenguaje común. El que recta y curva lleguen a (con)fundirse.
nombró así a estos objetos sabía bien lo que hacía: se Este hecho matemático es posiblemente el ori-
basaba en acciones que todo el mundo conoce (o de- gen de la expresión “salirse por la tangente”. Al reco-
bería conocer): tocar y besar, para nombrar fenóme- rrer una curva, en cualquier momento uno se puede
nos matemáticos (que ni todos conocen ni deberían desviar por la recta tangente en vez de continuar por
conocer). Lo que quiero hacer notar aquí es que hay la misma curva. Esto también ocurre en las conver-
una relación entre ambos significados: las palabras saciones: al llegar al punto espinoso no se le trata
que usan los matemáticos para describir sus objetos directamente, sino que poco a poco, de manera im-
provienen de la experiencia y lenguaje cotidianos. perceptible, uno se empieza a alejar de él, hasta que
Veamos cómo es que esto sucede. se le evita totalmente. Seguramente todos tenemos
Hay rectas que tocan y círculos que besan. Las varias historias en las que nos han mareado (o hemos
rectas que tocan se llaman tangentes y los círculos mareado a alguien) así. Si en vez de escribir sobre
que besan se llaman osculatrices. ¿Cómo puede una el círculo osculatriz empezara ahora a narrar mis
recta tocar y un círculo besar? Aclaremos esto, por- experiencias particulares, me estaría saliendo por la
que no cualquier recta toca (hay algunas que pegan o tangente.
atraviesan) y la mención de círculos besadores cier- Regresemos a nuestra pareja de patinadores.
tamente requiere de una explicación. Mientras ella sigue evolucionando caprichosamente,
¿Qué es, entonces, una recta tangente? Imagine- él, interesado en un contacto más cercano, ha deci-
mos a una pareja patinando en una pista de hielo; la dido cambiar de estrategia, describiendo ahora un
mujer, dibujando una curva caprichosa y el hombre, círculo como el que aparece en la ilustración 3. El
describiendo una línea recta. ¿Cómo podrían, sin de- resultado es que ahora la pareja permanece a poca
jar de moverse ni abandonar sus trayectorias, tocarse distancia por un tiempo más largo (pudiendo, qui-
sin golpearse, aunque fuera sólo un instante? Esto se- zá, besarse por un instante). Matemáticamente, el
ría posible sólo en el caso de que las dos trayectorias círculo osculatriz a una curva es aquél que adopta
coincidieran en un punto lo más suavemente posible de la mejor manera la forma de ésta; aquél que, al
(y de que ambos patinadores pasaran por ese punto tocarla, se le acerca lo más posible, cambiando en
al mismo tiempo y a la misma velocidad), como en la tamaño o posición como más convenga con tal de
ilustración 1. Si las trayectorias se cruzaran como en (con)fundirse con ella, al menos en el punto donde
la ilustración 2, hombre y mujer no se encontrarían la “besa”. Tanto la recta tangente como el círculo os-
(si pasan por el punto común en tiempos diferentes) culatriz se asemejan mucho a la curva cerca de donde
o chocarían estrepitosamente (si pasaran al mismo la tocan, pero al ser el círculo redondo, se le aproxima
Palabrijes 04 otoño 2009